盟员风采 | 宋春伟：探组合之谜 究天人之道
宋春伟，北京大学数学科学学院教授、博士生导师，从事组合数学与图论领域的研究工作，兼治中国思想史。在北京大学多次讲授“组合数学”“高等代数”“高等数学”等课程，深受学生好评。曾获中国工商银行教师奖、黄廷方/信和青年杰出学者奖、宝钢教育奖、北京市高等教育教学成果奖一等奖（参与）等。兼任中国数学会理事、中国数学会组合数学与图论专业委员会委员、全国青联委员、北京市政协委员。民盟中央青年工作委员会副主任，民盟北京市委委员、统战理论研究会副会长、北京大学委员会副主委。
数学，纯粹、优雅、简约、严谨，其作用无微不至，而“美”是第一特质。无论是数学专业人士还是刚迈入大学殿堂不久的年轻学生，乃至对数学产生兴趣的幼童，只要“开了窍”，都有类似感受。正如古今名局之于围棋爱好者，传世佳作之于艺术家，数学的“美”令数学家心醉神驰。在北京大学数学科学学院教授宋春伟看来，可以通过引导让更多人踏入美丽数学花园
现代数学分为两大类：一类研究连续对象，如分析、方程；另一类是研究离散对象的组合数学。宋春伟躬耕于组合数学领域，因兴趣所在甘之若饴。服膺数学既可强国、亦可启民，他认为每个人都应当学数学，学到什么程度则因人而异。从事数学研究的人则要有一定的天分和悟性，还得能沉下心来，也需要好的机遇。
“数学人当如浑金璞玉，内敛敦厚，不应把研究数学和青史留名联系起来。负责任地活过就已经为历史贡献了正能量，哪怕这力量微渺，社会发展恰是由点滴的微小力量所推进的。”超脱而又自律尽责是宋春伟的生活态度。
幼禀天赋 投身数学
数学天赋往往较早显现。四五岁，他就能够心算比较复杂的乘除法，成为远近闻名的神童。“那年代很多孩子都立志做‘科学家’，数学好的则要做数学家，我也不例外。不过我属于比较有根据并一直坚持下来的。”
经过选拔，宋春伟从小学到中学参加了各类数学竞赛，由此不断获得免试或保送，直至作为奥数比赛优胜者进入吉林大学数学系的国家数学基地班。但当时吉林大学数学系最具优势的领域为偏微分方程和计算数学，宋春伟了解后发现志不在此，于是决定在研究生阶段赴海外去看看。
在中国数学会学术年会作报告
凭藉优异成绩，他获得全额奖学金前往美国宾夕法尼亚大学数学系攻读直博。宾夕法尼亚大学曾是冯友兰的讲学之处、梁思成的求学之所，数学系当时有着Calabi、Kadison、Kirillov等多位名家大师。在那里，宋春伟感受到浓郁、活跃的学术氛围。宾大数学系教授Herbert S. Wilf曾获得美国数学会Steele杰出研究奖，其学术渊深而富有智慧，给予他很多启发和帮助。在读书的那些年，著名组合学家Persi Diaconis、Noga Alon、George Andrews等都来做过报告，会后宾主共进晚餐，宋春伟遂得以增广见闻。而后Wilf退休，他师从James Haglund教授，将组合数学视为自己终生从事的志业。
博士毕业后，宋春伟先后赴美国波士顿学院、日本东京工业大学任教。在东京工业大学，他是每年全球选聘二人的“先端特别数学讲座”主讲教授之一，也是当时该校的中国学者中唯一的一位独立教员。但他并不希望把黄金时间放在国外，待功成名就时再回来，那不是他想过的人生。他想着趁年轻回国，把余生交给祖国。2006年夙愿得偿，入职北京大学在他看来是莫大的幸运。
优游其中 匠心独具
“北大数学是中国现代第一个大学数学科系，从1913年算起已逾百年。这里云集了国内最优秀的数学人才，有着深厚的学术积淀和纯净的研究氛围，这是最吸引我的地方，也让我最有归属感。”在北大数学学院优越宽容的环境下，宋春伟得以潜心治学，“探组合之谜，究天人之道”。不标榜成绩，长存敬畏之心，他继往而弥新在前人研究的基础上突破、创造。
组合数学是研究满足一定条件的组态之存在性、计数、构造及极值等方面问题的学问。“大部分组态呈现高度规律性，比方说，极值图论中有个以匈牙利数学家Turán命名的定理：所有n个顶点而不含k-团的图中，边数最多的图是尽量均匀对称的(k-1)-部图，并且该图是唯一的‘极图’。”宋春伟说，数学深入进去方能体会其妙，由于工业文明的高度分工，很多研究看不出直接应用，但实际上正为科学发展和技术突破提供源动力。
“组合数学的要旨之一是‘不计而计’，强调有意义的双射和组合阐释。”用现代数学工具武装起来的组合数学在计算机时代发展迅速，日益受到重视。“有时候我们得不到准确的结果，但可以获得近似的结论。我关注图中有重要意义的参数和一些极值的性质，这些和计数始终有着关联。”宋春伟说。
在组合数学的海洋里徜徉，宋春伟的研究成果往往有独得之妙，他提出并发展了一些优美的数学定理。
着眼于广受关注的卡特兰数研究，他曾引入一种称为“置换路”的相当直观的格路径，并找到其与n阶置换群之间的保组合统计量的双射，该映射限制在Dyck路上时恰好成为保组合统计量的312-禁模式置换与Dyck路之间的对应。与特殊计数序列相关的对组合统计量的研究牵涉到组合学的核心，近年来方兴未艾。他得到的关于m-Schröder路径的计数结果被数学家Sloane的整数序列大百科网站OEIS收录为新的数列。
宋春伟在美国斯沃斯莫尔大学
n阶置换群上组合统计量des和inv的联合分布多项式可看作欧拉多项式的关于逆序数的q-模拟。组合数学大师Stanley等给出过它的生成函数表达式。由于可在n乘n格板上表示置换，宋春伟和合作者考查的更一般的Ferrers板上置换的联合分布多项式就成为一种推广。他们找到一个通过关于Ferrers板内格路径面积多项式的“正行列式”来表示该联合分布多项式，如果限制在截角方板上还有更明确的表达式，可以从另一个角度诠释金芳蓉教授等的工作。因为这些成果，美国斯普林格出版社邀请他撰写一部关于格路径和特殊计数序列的专著。
在标记树的计数方面，宋春伟证明了n+2个顶点上、使得0的最小邻居是叶子的标记树之个数恰为nn，并且随着n的增大，这种树出现的概率将逼近e-2，这可以称之为幼子独身树的计数定理。时至今日得到形式如此简洁的结果着实令人惊讶。另外，该研究还推广到代代遗传的幼子独身树，获得有关的结论。
宋春伟的另一个研究重点是关于极值图论、图的参数和结构以及与概率有关的组合数学。他最近研究过一个与概率相关的有趣问题。若女孩投掷的硬币正面向上的概率为q，而男孩投掷的硬币正面向上概率为p，但q<p，即对男孩有利。令f(n)表示n次后女孩比男孩的硬币正面多的概率，这是个有些复杂的二重求和。他的老师Wilf与合作者证明了f(n)是单峰的，并通过勒让德多项式给出差分的表达式，但他们的证明需要依靠多元形式的Zeilberger算法。宋春伟和合作者的工作则通过积分表示给出了更一般的允许女孩多掷r次、考虑女孩比男孩多得到至少d个正面的概率问题，这就多了两种维度。从他们的结果可以得到Wilf等人的结果，并且仅依靠概率分析，在方法上更值得关注。
“当今，数学发挥着越来越大的作用。它不仅仅是工具，更是一种文化，这种文化体现了探索精神。”迎难而上，宋春伟对现代组合学先驱Herbert Ryser提出的关于r-部超图上匹配数与覆盖数的猜想开展了研究。经过求索尝试，他同合作者转换思维角度，给出了临界情况下相交超图最少边数的一些构造和证明。他们的研究成果获得国际同行的广泛引用和认可。
君子志道 不忘根本
曾在海外负笈多年的宋春伟，当初抱定宗旨，求学而去，没有想过会不回来，也未考虑过诸如签证、移民这些问题。在国外的朋友有时会谈论发展机遇和生活环境等，但他觉得这些并不重要。当时的心境堪称义无反顾，实是觉得瞻前顾后、左右掂量并不足取。“上世纪50年代初，众多优秀留学人才放弃国外生活，甚至就在拿学位前夜离开所在发达国家，回到百废待兴的新中国效力，其种种条件可谓艰苦。往近一点看，我的前辈同事郭懋正教授1984年从国际学术中心地纽约大学获得博士学位，站在数学最前沿，然后从容回到北大做一名用心授业、优秀而平凡的教员直至退休。”宋春伟说，“志于道，乐以忘忧。在物质极大丰富的廿一世纪，更应如此。”
远在大洋彼岸，时刻思念故土。研习数学之余，宋春伟也深入于中古时代思想史的研究，宾夕法尼亚大学图书馆、普林斯顿的葛斯德东亚图书馆、哈佛—燕京图书馆里都曾留下他探寻的足迹。他在线装古籍和当代第一流学者的工作中追念祖先辽阔的心灵世界与故土山河，同时也希望增加对国家历史嬗变兴替的了解，鉴过往以察来日。
“所谓故国者，非谓有乔木之谓也，有世臣之谓也。”读史阅世，宋春伟认为人生应尽到社会责任。直至今天，面对国外高校抛来的条件优厚的橄榄枝，他仍不为所动。
宋春伟（左三）和学生在一起
致力于学术的同时，宋春伟是一位严格而又开明的老师。他认为对博士生来说，当以学术志业为主要目标，自己的博士生最理想的出路是在大学任教、继续从事组合数学研究。但他同时强调，希望学生首先做一个正直、有责任感和幸福的人，要有风骨，人生规划应切合自身实际。针对学生的多元化选择，宋春伟表示尊重，他希望日后无论是投身学术研究还是进入企业谋职，每人都能在各阶段有所收获，成为有益于社会的人才。
少年富则国富，少年强则国强。理想抱负和浪漫主义情怀不能缺乏，青少年有待于树立和坚持自己的远大理想。北大数学学院尤其拥有最优秀的青年学生，作为导师，宋春伟认为自己不仅要在学术前沿努力探索，还应将教书育人放在首位，大力发掘、引导和培养有使命感的新一代人才。他说，众多前辈师长的高风亮节、道德文章已提供了榜样：他们敬业、友好、纯净、善良，超越俗谛，专心致志地治学教书，以自身精醇学问受到众人的尊重。
谆谆如父语，殷殷似友亲。宋春伟时时鼓励学生，也不忘自励：怀仁爱之心，对国家忠诚，为人正直、信实，不忧不惧，不为和俗而背弃学术的独立与尊严。
（来源：《中国科学报》）
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